Dieses Lehrbuch gibt eine Einführung in die partiellen Differenzialgleichungen. Wir beginnen mit einigen ganz konkreten Beispielen aus den Natur-, Ingenieur und Wirtschaftswissenschaften. Danach werden elementare Lösungsmethoden dargestellt, z.B. für die Black-Scholes-Gleichung aus der Finanzmathematik. Schließlich wird die analytische Untersuchung großer Klassen von partiellen Differenzialgleichungen dargestellt, wobei Hilbert-Raum-Methoden im Mittelpunkt stehen. Alle hierzu benötigten Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis werden bereitgestellt. Wir fangen stets mit dem einfachsten Fall an (z.B. mit Sobolev-Räumen in einer Dimension) und legen mehr Wert auf die Darstellung der Ideen als das bestmögliche Ergebnis.

1 Modellierung, oder wie man auf eine Differenzialgleichung kommt 1.1 Modellierung mit Differenzialgleichungen 1.2 Transport-Prozesse 1.3 Diffusion 1.4 Die Wellengleichung 1.5 Die Black-Scholes-Gleichung 1.6 Jetzt wird es mehrdimensional 1.7 Es gibt noch mehr 1.8 Klassifikation partieller Differenzialgleichungen 1.9 Aufgaben 2 Kategorisierung und Charakteristiken 2.1 Charakteristiken von Anfangswertproblemen auf R 2.2 Gleichungen zweiter Ordnung 2.3 Anfangs- und Randwerte 2.4 Nichtlineare Gleichungen zweiter Ordnung 2.5 Gleichungen höherer Ordnung und Systeme 2.6 Aufgaben 3 Elementare Lösungsmethoden 3.1 Variablentransformation für die Transportgleichung 3.2 Trennung der Variablen am Beispiel der Wellengleichung 3.3 Fourier-Reihen 3.4 Die Laplace-Gleichung 3.5 Die Wärmeleitungsgleichung 3.6 Die Black-Scholes-Gleichung 3.7 Integral-Transformationen 3.8 Aufgaben 4 Hilbert-Räume 4.1 Unitäre Räume 4.2 Orthonormalbasen 4.3 Vollständigkeit 4.4 Orthogonale Projektionen 4.5 Linearformen und Bilinearformen 4.6 Schwache Konvergenz 4.7 Stetige und kompakte Operatoren 4.8 Der Spektralsatz 4.9 Aufgaben 5 Sobolev-Räume und Randwertaufgaben in einer Dimension 5.1 Sobolev-Räume in einer Variablen 5.2 Randwertprobleme auf einem Intervall 5.3 Aufgaben 6 Sobolev-Räume und Hilbert-Raum-Methoden für elliptische Gleichungen 6.1 Regularisierung 6.2 Sobolev-Räume 6.3 Der Raum H1 6.4 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 6.5 Sobolev-Räume und Fourier-Transformation 6.6 LokaleRegularität 6.7 Die Poisson-Gleichung mit inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen 6.8 Das Dirichlet-Problem 6.9 Elliptische Gleichungen mit Dirichlet-Randbedingung 6.10 H2-Regularität 6.11 Kommentare zu Kapitel 6 6.12 Aufgaben 7 Elliptische Gleichungen mit Neumann- und Robin-Randbedingungen 7.1 Der Satz von Gauß 7.2 Beweis des Satzes von Gauß 7.3 Die Fortsetzungseigenschaft 7.4 Die Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen 7.5 Der Spursatz und Robin-Randbedingungen 7.6 Kommentare zu Kapitel 7 7.7 Aufgaben 8 Spektralzerlegung und Evolutionsgleichungen 8.1 Ein vektorwertiges Anfangswertproblem 8.2 Die Wärmeleitungsgleichung mit Dirichlet-Randbedingungen 8.3 Die Wärmeleitungsgleichung mit Robin-Randbedingungen 8.4 Die Wellengleichung 8.5 Aufgaben 9 Numerische Verfahren 9.1 Finite Differenzen 9.2 Finite Elemente 9.3 Ergänzungen und Erweiterungen 9.4 Parabolische Probleme 9.5 Aufgaben 10 Maple, oder manchmal hilft der Computer 10.1 Maple® 10.2 Aufgaben